Um cano a verter água fora da porta, entre o meu apartamento e o contador, quem tem a responsabilidade das obras?

Entre o contador e até á sua fração (e dentro obviamente) é da sua responsabilidade.

Do contador para fora e até à conduta de abastecimento a responsabilidade é do condomínio, daí para fora é do fornecedor de água (SMAS, Câmara Municipal, etc).